Скачать Основной курс по олимпиадной математике (8-9 класс) [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова]

[Dozhd]

Складчина: Основной курс по олимпиадной математике (8-9 класс) [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Дарья Короткова]



Курс состоит из 7 блоков (месяцев), каждый блок делится на три уровня сложности: простой, средний и сложный.

В первых четырёх блоках по 8 пар простого и среднего уровня и по 4 сложного, в последних трёх — по 4 пары простого уровня и по 8 среднего и сложного

Уровни сложности:

Легкий уровень:
самая база (уровень школьного и муниципального этапов ВСОШ) + закл простых классических олимпиад (Изумруд, Бельчонок)
Средний уровень:
уровень регионального этапа ВСОШ/Эйлера + закл несложных классических перечней (Всесиб, Курчатов, СПбГУ)
Сложный уровень:
пекло уровня заключительно этапа ВсОШ/Эйлера и заклов самых сложных классических перечней (ММО, ТурГор, Высшая Проба)
Стратегии прохождения курса:

Если вы совсем новичок:
Проходите все занятия легкого уровня и всеми силами стараетесь перейти на средний уровень
Если у вас уже есть опыт:
Проходите все занятия среднего уровня, всеми силами стараетесь перейти на сложный уровень и заполняете пробелы в определенных разделах на парах простого уровня
Если вы почти призер ВсОШ:
Проходите все занятия сложного уровня и заполняете пробелы на парах среднего уровня
В любом случае, вы можете посещать все пары и — главное — смотреть записи пар до конца курса. Так вы сможете изучить весь материал, даже если не обладали некоторыми пререквизитами заранее

Программа:

1 Блок (Сентябрь)

Простой уровень сложности:

Логика: построение отрицаний
Научимся переводить высказывания на язык логики и корректно строить отрицания к фразам с «и», «или», «для всех» и «существует». Разберём задачи о рыцарях и лжецах.
Методы: доказательство от противного
Разберём структуру доказательства от противного: какое предположение сделать, как получить невозможное следствие и как аккуратно завершить рассуждение.
Комбинаторика: правила суммы и произведения
Освоим базовые правила подсчёта: когда варианты складываются, а когда перемножаются. Научимся разбивать сложный выбор на независимые этапы.
Комбинаторика: перебор вариантов
Научимся организовывать полный перебор без пропусков и повторов: с помощью дерева вариантов, таблицы, разбиения на случаи и симметрии.
Теория чисел: чётность
Научимся отслеживать чётность чисел и операций, разбивать случаи по остаткам по модулю 2 и доказывать невозможность требуемой конфигурации.
Алгебра: преобразование выражений 1
Отработаем разложения на множители, группировку, формулы сокращённого умножения и разумные замены. Цель быстро увидеть структуру выражения.
Геометрия: равенство треугольников
Повторим признаки равенства и научимся находить пары треугольников в сложном чертеже. Отработаем доказательства равенства углов и отрезков.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Методы: постепенное конструирование
Научимся строить требуемый объект по шагам, на каждом шаге сохраняя нужные свойства. Отработаем конструкции, где готовый ответ трудно увидеть целиком.
Методы: соответствия
Освоим биекции и другие соответствия между множествами: будем заменять трудный подсчёт эквивалентным и доказывать равенство количеств без прямого перебора.
Комбинаторика: игры симметрия и дополнение
Освоим стратегии зеркального ответа и парного дополнения. Научимся находить симметричное состояние и сохранять его после каждого хода соперника.
Теория чисел: сравнения по модулю 1
Введём язык сравнений по модулю и научимся складывать, умножать и возводить сравнения в степень. Решим базовые задачи на остатки и делимость.
Алгебра: слова в формулы
Научимся переводить текстовые условия в переменные, уравнения и неравенства, выбирать неизвестные и интерпретировать полученный ответ.
Геометрия: угол, опирающийся на диаметр
Разберём теорему об угле в полуокружности и обратное утверждение. Научимся распознавать скрытые прямые углы и достраивать окружность.
Геометрия: откладывание отрезков
Освоим вспомогательное построение равного отрезка, которое создаёт равнобедренный треугольник или позволяет сложить длины на одной прямой.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Алгебра: слова в формулы посложнее
Разберём многоэтапные текстовые модели с несколькими ограничениями. Научимся выбирать параметры так, чтобы система была компактной и содержательной.
Комбинаторика: таблицы
Научимся кодировать условия задачи в таблице, считать строки и столбцы двумя способами и извлекать из табличной структуры точные оценки.
Теория чисел: десятичная запись
Научимся переводить условия о цифрах в алгебраические выражения, работать с разрядами, суммами цифр и делимостью чисел.
Геометрия: вневписанные окружности
Разберём центры вневписанных окружностей, внешние биссектрисы и касательные отрезки. Научимся использовать полупериметр и угловые свойства.
2 Блок (Октябрь)

Простой уровень сложности:

Методы: принцип Дирихле
Научимся выбирать «клетки» и «объекты» так, чтобы гарантировать совпадение, близость или повторение. Разберём числовые, геометрические и комбинаторные сюжеты.
Методы: принцип крайнего
Будем выбирать наибольший, наименьший или крайний объект и использовать его свойства для запуска доказательства. Отработаем типичные признаки применимости метода.
Теория чисел: делимость, основная теорема арифметики
Повторим делимость и разложение на простые множители. Научимся сравнивать показатели простых и использовать единственность разложения в доказательствах.
Теория чисел: остатки
Освоим арифметику остатков и выбор подходящего модуля. Научимся быстро исключать невозможные значения и исследовать периодичность.
Комбинаторика: вычитание и деление
Разберём подсчёт через дополнение и устранение многократного учёта. Научимся распознавать, сколько раз каждый объект был посчитан.
Графы: основные понятия, лемма о рукопожатиях
Введём вершины, рёбра, степени и пути. Докажем лемму о рукопожатиях и применим её к задачам о знакомствах, дорогах и нечётных степенях.
Геометрия: прямоугольные треугольники
Систематизируем свойства прямоугольного треугольника: медиану к гипотенузе, высоту, углы между ними.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Методы: оценки в комбинаторике
Научимся ограничивать число объектов, пар, пересечений и вариантов с помощью двойного подсчёта, усреднения и локальных ограничений.
Методы: оценки в теории чисел
Разберём, как сравнивать размеры делителей, степеней и слагаемых, чтобы отсекать невозможные случаи в задачах на целые числа.
Методы: инварианты мешают
Будем доказывать невозможность, находя неизменяемую характеристику, значения которой различаются в начальном и требуемом состояниях.
Алгебра: неравенства 1
Соберём базовые методы доказательства неравенств: перенос в одну сторону, факторизация, выделение квадрата и неравенство о средних для двух переменных.
Теория чисел: малая теорема Ферма
Изучим малую теорему Ферма и периодичность степеней по простому модулю. Применим её к последним цифрам, делимости и сравнениям.
Геометрия: неравенство треугольника
Освоим сравнение длин через ломаные и спрямление пути. Научимся строить точки так, чтобы сложная сумма отрезков превратилась в один отрезок.
Геометрия: конкурентность
Разберём доказательства пересечения трёх прямых в одной точке, сводя задачу к пересечению замечательных линий в треугольнике.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Алгебра: неравенство о средних
Изучим связь среднего арифметического и геометрического для нескольких переменных, условия равенства и типичные замены.
Методы: сложные оценки
Соберём несколько локальных ограничений в одну точную глобальную оценку. Отработаем усреднение, двойной подсчёт и выбор параметра в задачах высокой сложности.
Геометрия: геометрические неравенства
Разберём оценки длин, углов и площадей с помощью неравенства треугольника, проекций, спрямления и экстремальных конфигураций.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
3 Блок (Ноябрь)

Простой уровень сложности:

Методы: обратный ход
Научимся рассуждать от требуемого результата к исходным данным и обращать допустимые операции. Метод особенно полезен в задачах на процессы, игры и построения.
Методы: комбинаторные конструктивы 1
Разберём базовые способы явно строить объекты с заданными свойствами. Научимся превращать идею конструкции в строгое доказательство.
Теория чисел: признаки делимости
Разберём классические и нестандартные признаки делимости через десятичную запись и остатки. Научимся самостоятельно выводить признаки для разных модулей.
Теория чисел: НОД, НОК, Алгоритм Евклида
Освоим свойства НОД и НОК, алгоритм Евклида и линейное представление НОД. Применим их к решению различных задач.
Алгебра: преобразование выражений 2
Продолжим преобразования: симметрические выражения, вложенные дроби и нестандартные разложения на множители. Научимся выбирать форму, удобную для доказательства.
Комбинаторика: формула включений исключений
Разберём, как считать объединение пересекающихся множеств, корректируя повторный учёт. Применим формулу к делимости, словам и размещениям.
Геометрия: параллелограммы и средние линии
Разберём свойства параллелограмма и средних линий треугольника и трапеции. Отработаем рассуждения через параллельность и равные отрезки.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Методы: инварианты помогают
Научимся находить величину или свойство, которое сохраняется в процессе, и использовать его для вычисления результата, восстановления состояния или описания всех возможностей.
Методы: дискретная непрерывность
Разберём принцип промежуточного значения в дискретных процессах: если целочисленная величина меняется малыми шагами, она обязана пройти через нужное значение.
Методы: оценка + пример
Освоим одну из главных олимпиадных конструкций: сначала докажем верхнюю или нижнюю границу, затем построим пример, на котором она достигается.
Теория чисел: сравнения по модулю 2
Продолжим работу со сравнениями: обратимые остатки, деление при допустимых условиях, системы сравнений и периодичность степеней.
Алгебра: рациональные и иррациональные числа
Разберём доказательства иррациональности, сопряжённые выражения и разделение рациональной и иррациональной частей.
Геометрия: вписанные углы 1
Освоим связь вписанного и центрального углов, углы, опирающиеся на одну хорду, и простые признаки вписанности четырёх точек.
Геометрия: вписанные углы 2
Продолжим работу с окружностями: ориентированные углы, касательные, равенство дуг и цепочки вписанностей в сложных конфигурациях.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Алгебра: целочисленная теорема Безу
Рассмотрим разность значений многочлена с целыми коэффициентами в целых точках и докажем её делимость на разность значений. Используем этот метод в разных задачах.
Теория чисел: сложные задачи с остатками
Будем комбинировать несколько модулей, исследовать степени и многочлены по остаткам, а также строить контрпримеры и точные ограничения.
Методы: префиксные суммы
Освоим суммы первых элементов последовательности и их разности. Научимся выражать суммы на отрезках и находить повторения с помощью принципа Дирихле.
Геометрия: сложные задачи с окружностями
Соберём вписанные углы, хорыд, секущие и касательные в многошаговых конфигурациях. Научимся выбирать ведущую окружность.
4 Блок (Декабрь)

Простой уровень сложности:

Методы: комбинаторные конструктивы 2
Продолжим конструктивный метод: циклические схемы, чередование, блочные конструкции и рекурсивное построение. Упор на выбор конструкции под ограничения задачи.
Методы: раскраски
Научимся выбирать раскраску, сохраняющуюся или предсказуемо меняющуюся при операциях. Применим её к клетчатым доскам, разбиениям и доказательствам невозможности.
Теория чисел: простая десятичная запись
Разберём запись числа по разрядам и базовые задачи о цифрах: перестановка, дописывание, сумма цифр и делимость.
Алгебра: числовые неравенства
Освоим сравнение числовых выражений без вычислений: приведение к квадратам, разложения, монотонность и рациональные оценки.
Графы: деревья
Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.
Геометрия: геометрическое место точек
Научимся описывать множество точек, удовлетворяющих условию: серединные перпендикуляры, биссектрисы, окружности. Разберём пересечение нескольких ГМТ.
Геометрия: теорема Фалеса
Освоим равные отрезки при параллельных прямых и обратные утверждения. Научимся применять её в задачах.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Методы: полуинварианты
Разберём величины, которые меняются только в одном направлении. Научимся доказывать завершение процессов, невозможность циклов и оценивать число ходов.
Методы: метод математической индукции
Освоим обычную и усиленную индукцию, выбор удобного параметра и правильный переход. Разберём доказательства тождеств, неравенств и комбинаторных утверждений.
Алгебра: квадратный трёхчлен 1
Освоим дискриминант, сумму и произведение корней, знак трёхчлена и выделение полного квадрата. Применим это к базовым олимпиадным задачам.
Теория чисел: простые числа
Разберём свойства простых чисел, бесконечность множества простых и разложения произведений. Научимся выбирать крайний простой делитель.
Графы: смежность и связность 1
Освоим пути, компоненты связности и локальные условия на соседей. Научимся переводить сюжет задачи в граф и исследовать достижимость.
Геометрия: обобщённая теорема Фалеса
Разберём направленные отношения на секущих, несколько параллельных прямых и более сложные пропорции. Свяжем метод с подобием.
Геометрия: вписанные четырёхугольники
Разберём признаки вписанности, суммы противоположных углов, внешние углы и следствия для диагоналей. Научимся находить скрытую окружность.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Графы: смежность и связность 2
Углубим связность: разрезы, мосты, точки сочленения и минимальные связные структуры. Отработаем доказательства различных свойств.
Алгебра: квадратный трёхчлен 2
Продолжим: параметры, целые корни, расположение корней и построение вспомогательного трёхчлена. Научимся извлекать ограничения без явного решения.
Геометрия: вписанность в действии
Будем находить несколько взаимосвязанных окружностей и переносить угловые равенства по цепочке. Упор на выбор самой полезной вписанности.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
5 Блок (Январь)

Простой уровень сложности:

Комбинаторика: сочетания
Освоим биномиальные коэффициенты, выбор без учёта порядка и основные тождества. Научимся видеть сочетания в задачах, не сформулированных как выбор элементов.
Теория чисел: линейные диофантовы уравнения
Научимся находить все целочисленные решения уравнения ax + by = c, проверять критерий существования и учитывать ограничения на знаки.
Алгебра: квадратные уравнения
Систематизируем дискриминант, теорему Виета и параметры корней. Научимся решать олимпиадные задачи без прямого вычисления корней.
Геометрия: подобие
Систематизируем признаки подобия и отношения соответствующих элементов. Научимся находить скрытые подобные треугольники и строить нужные пропорции.
Средний уровень сложности:

Методы: крайние в теории чисел
Научимся выбирать наименьшее решение, наибольший делитель или крайний простой множитель и использовать минимальность для получения противоречия или спуска.
Комбинаторика: информационные задачи
Научимся измерять количество информации числом возможных исходов и строить оптимальные алгоритмы вопросов, взвешиваний и кодирования.
Алгебра: метод Штурма
Освоим метод сглаживания: будем заменять пару переменных при фиксированных сумме и произведении и сводить многопеременное неравенство к граничным случаям.
Теория чисел: целая и дробная часть
Освоим свойства целой и дробной части, разбиение числовой прямой на интервалы и преобразование условий с целыми значениями.
Графы: индукция в графах
Научимся применять индукцию по числу вершин или рёбер: выбирать удаляемый элемент, сохранять условие и восстанавливать решение.
Геометрия: степень точки
Освоим произведения отрезков секущих, касательную и степень точки внутри и вне окружности. Научимся доказывать равенства и вписанность.
Геометрия: описанные четырёхугольники
Изучим критерий существования вписанной окружности и равенство сумм противоположных сторон. Разберём касательные от одной точки и биссектрисы.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Алгебра: неравенство КБШ
Изучим неравенство Коши Буняковского Шварца в алгебраической и дробной формах. Отработаем подбор переменных и условия равенства.
Алгебра: теорема Виета для высших степеней
Изучим формулы Виета для многочленов степени выше двух и научимся выражать симметрические суммы корней через коэффициенты.
Теория чисел: функция и теорема Эйлера
Освоим функцию Эйлера, её вычисление по разложению числа и теорему Эйлера. Решим задачи на большие степени и обратимые остатки.
Геометрия: угадывание точек
Научимся восстанавливать скрытую специальную точку по ожидаемым свойствам: достраивать пересечения, окружности и симметричные образы, а затем строго доказывать догадку.
Геометрия: радикальная ось и радикальный центр
Изучим множество точек равных степеней относительно двух окружностей и конкурентность трёх радикальных осей. Применим метод к системам окружностей.
Комбинаторика: сложные информационные задачи
Разберём адаптивные и неадаптивные стратегии, кодирование ответов и информационные нижние оценки. Будем доказывать не только возможность, но и оптимальность алгоритма.
Комбинаторика: сложные игры
Исследуем выигрышные и проигрышные позиции, стратегии передачи хода и разложение игры на компоненты. Задачи потребуют сочетать инварианты и конструктивы.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
6 Блок (Февраль)

Простой уровень сложности:

Теория чисел: квадратные диофантовы уравнения
Разберём уравнения, содержащие квадраты: разложение на множители, сравнения, оценки и переход к разности квадратов.
Геометрия: поиск вписанностей
Научимся целенаправленно доказывать, что четыре точки лежат на окружности: через равные углы, сумму углов, степень точки и произведения отрезков.
Графы: двудольность
Разберём двудольные графы, раскраску в два цвета и критерий отсутствия нечётных циклов. Применим модель к расписаниям и отношениям двух типов.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Методы: частичное соответствие
Разберём ситуации, где полная биекция недоступна: будем строить инъекции, сюръекции и частичные пары, чтобы сравнивать мощности и получать оценки.
Комбинаторика: сочетания с повторениями
Разберём выбор с повторениями, метод перегородок и шаров, а также связь с неотрицательными целочисленными решениями уравнений.
Графы: подвешивание за вершину (ранжирование)
Освоим разбиение вершин на уровни по расстоянию от выбранной вершины. Метод поможет исследовать кратчайшие пути, двудольность и рост графа.
Алгебра: квадратный трёхчлен 2
Продолжим: параметры, целые корни, расположение корней и построение вспомогательного трёхчлена. Научимся извлекать ограничения без явного решения.
Теория чисел: конструктивы
Научимся строить числа с заданными остатками, делителями и цифровыми свойствами.
Геометрия: ортоцентр
Систематизируем свойства высот и ортоцентра, отражения относительно сторон, окружности и угловые связи. Научимся видеть ортоцентр в нетипичной роли.
Геометрия: лемма о трезубце
Изучим конфигурацию биссектрисы и центра описанной окружности, позволяющую получать равные отрезки и углы. Отработаем её распознавание и применение.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Методы: упорядочивание и усреднение
Научимся упорядочивать объекты, сравнивать соседние элементы и переходить от локальных данных к среднему. Метод объединяет перестановки, оценки и экстремальные аргументы.
Методы: кооперативные алгоритмы
Разберём задачи, где участники заранее согласуют стратегию, но затем действуют при ограниченной информации. Научимся кодировать сведения и доказывать гарантию успеха.
Графы: лемма Холла
Изучим критерий существования паросочетания в двудольном графе. Научимся проверять условие Холла и переводить задачи о назначениях в графовую модель.
Теория чисел: КТО
Изучим китайскую теорему об остатках и построение числа по системе сравнений. Научимся проверять совместность и описывать все решения.
Алгебра: транснеравенство
Изучим перестановочное неравенство: почему скалярное произведение максимально для одинаково упорядоченных последовательностей. Разберём следствия и условия равенства.
Геометрия: задачи на решётки
Исследуем точки с целыми координатами без тяжёлой координатной техники: площади, чётность, примитивные отрезки и формулу Пика.
Геометрия: ориентированные углы
Освоим вычисление углов по модулю 180°, которое устраняет разбор расположений. Научимся компактно доказывать параллельность и вписанность.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
7 Блок (Март)

Простой уровень сложности:

Алгебра: суммирование
Разберём телескопические суммы, группировку, замену индекса и стандартные формулы. Научимся искать представление, в котором большая часть слагаемых сокращается.
Геометрия: простые конструктивы
Разберём задачи, где требуется построить или предъявить конфигурацию. Научимся использовать симметрию, параллельный перенос и разбиение на знакомые фигуры.
Графы: деревья
Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: корни многочленов
Изучим связи между корнями и коэффициентами, кратность, делимость многочленов и оценку числа корней. Научимся строить вспомогательный многочлен.
Алгебра: задачи с функциями
Будем исследовать функции через инъективность, монотонность, композиции и специальные значения. Научимся переводить функциональное условие в алгебраические ограничения.
Теория чисел: уравнения в целых числах
Соберём основные методы решения диофантовых уравнений: делимость, остатки, оценки, разложения и спуск. Научимся сочетать несколько методов.
Комбинаторика: турниры
Изучим ориентированные полные графы как модель соревнований. Разберём победителей, пути, циклы и оценки на число исходов.
Комбинаторика: конструктивы
Научимся явно строить расстановки, последовательности и разбиения, удовлетворяющие нескольким условиям одновременно, и строго проверять конструкцию.
Геометрия: движения
Разберём осевую и центральную симметрии, поворот и параллельный перенос. Научимся выбирать движение, совмещающее ключевые элементы.
Геометрия: гомотетия
Освоим центры гомотетии окружностей и подобных фигур, прямую и обратную гомотетию. Научимся находить коллинеарности и общие касательные.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Методы: метод бесконечного спуска
Научимся из предполагаемого решения строить строго меньшее решение того же типа. Бесконечный спуск позволит доказывать невозможность целочисленных конфигураций.
Комбинаторика: клетчатые задачи
Разберём задачи на досках и решётках: раскраски, разбиения, пути, покрытия и подсчёт клеток. Научимся выбирать подходящую модель.
Комбинаторика: множества
Освоим язык множеств, операции и диаграммы, а затем применим их к задачам о пересечениях, объединениях и семействах подмножеств.
Теория чисел + алгебра: разнобой
Смешанный набор сложных задач на многочлены, неравенства, делимость и целочисленные уравнения. Главная цель научиться сочетать алгебраические и арифметические идеи.
Алгебра: задачи на последовательности
Разберём рекуррентные и монотонные последовательности, оценки, инварианты и периодичность. Научимся угадывать и доказывать закономерность.
Геометрия: поворотная гомотетия
Изучим спиральное подобие, которое одновременно поворачивает и масштабирует фигуру. Научимся находить его центр и переносить пары отрезков.
Геометрия: счёт в синусах
Освоим теорему синусов и вычисление отношений отрезков через синусы углов. Научимся замыкать циклические произведения и доказывать конкурентность.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Цена 29900 руб.




СКАЧАТЬ

Для просмотра скрытого содержимого вы должны зарегистрироваться