Скачать Основной курс по олимпиадной математике (10-11 класс) [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Александр Браженко]

[Dozhd]

Складчина: Основной курс по олимпиадной математике (10-11 класс) [Василий Короленков, Дарья Алексеева, Александр Браженко]



Курс состоит из 7 блоков (месяцев), каждый блок делится на три уровня сложности: простой, средний и сложный.

В первых четырёх блоках по 8 пар простого и среднего уровня и по 4 сложного, в последних трёх — по 4 пары простого уровня и по 8 среднего и сложного.

Уровни сложности:

Легкий уровень:
самая база (уровень школьного и муниципального этапов ВСОШ) + закл простых классических олимпиад (Изумруд, Бельчонок)
Средний уровень:
уровень регионального этапа ВСОШ + закл несложных классических перечней (Всесиб, Курчатов, СПбГУ)
Сложный уровень:
лекло уровня заключительного этапа ВСОШ и заклов самых сложных классических перечней (ММО, ТурГор, Высшая Проба)
Стратегии прохождения курса:

Если вы совсем новичок:
Проходите все занятия легкого уровня и всеми силами стараетесь перейти на средний уровень
Если у вас уже есть опыт:
Проходите все занятия среднего уровня, всеми силами стараетесь перейти на сложный уровень и заполняете пробелы в определенных разделах на парах простого уровня
Если вы почти призер ВсОШ:
Проходите все занятия сложного уровня и заполняете пробелы на парах среднего уровня
В любом случае, вы можете посещать все пары и — главное — смотреть записи пар до конца курса. Так вы сможете изучить весь материал, даже если не обладали некоторыми пререквизитами заранее.

Программа:

1 Блок (Сентябрь)

Простой уровень сложности:

Комбинаторика: счёт без формул
Научимся считать количество объектов и способов через правила суммы, произведения, вычитания и деления
Комбинаторика: простые формулы
Разберём перестановки, размещения, сочетания и формулу включений-исключений
Теория чисел: делимость и разложение на множители
Систематизируем признаки делимости, простые множители и основную теорему арифметики (без доказательства)
Теория чисел: НОД и НОК
Систематизируем свойства НОД и НОК и обсудим алгоритм Евклида
Методы: принцип Дирихле
Научимся выбирать «клетки» и «объекты» так, чтобы гарантировать совпадение, близость или повторение. Разберём числовые, геометрические и комбинаторные сюжеты.
Алгебра: преобразования выражений 1
Систематизируем базовые факторизации, тождества и замены переменных. Научимся превращать громоздкую запись в выражение с ясной структурой.
Геометрия: вписанные углы
Систематизируем углы в окружности, касательные и признаки вписанного четырёхугольника. Научимся читать окружностную структуру чертежа.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: преобразования выражений 2
Освоим симметризацию, однородность, сложные разложения и работу с рациональными выражениями. Упор на поиск ключевой формы.
Алгебра: квадратный трёхчлен
Разберём знак, вершину параболы, корни и дискриминант. Научимся оценивать квадратный трёхчлен и использовать его в задачах с параметрами.
Теория чисел: степень вхождения простого
Будем учиться считать показатель простого в произведениях, факториалах и биномиальных коэффициентах.
Теория чисел: крайние
Разберём выбор наименьшего решения, наибольшего делителя и крайнего простого множителя. Эти объекты часто запускают спуск или противоречие.
Геометрия: степень точки
Освоим произведения отрезков секущих, касательную и степень точки внутри и вне окружности. Научимся доказывать равенства и вписанность.
Геометрия: антипараллельность
Разберём антипараллельные прямые, их связь с вписанностью и симедианами. Научимся быстро переводить угловые условия в окружностные.
Графы: связность
Разберём пути, компоненты, мосты и способы гарантировать связность. Научимся доказывать существование маршрута через локальные условия.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Комбинаторика: Diamond-лемма
Изучим Diamond-лемму и применим её к различным задачам.
Геометрия: инверсия
Освоим инверсию относительно окружности: образы точек, прямых и окружностей, сохранение углов. Научимся выбирать радиус и центр преобразования.
Теория чисел: LTE
Изучим лемму о подъёме показателя и условия её применимости. Научимся вычислять степень простого в разностях и суммах больших степеней.
Алгебра: неравенство Мюрхеда
Изучим мажорирование показателей и неравенство Мюрхеда для симметрических однородных многочленов. Научимся раскладывать выражение по симметрическим суммам.
2 Блок (Октябрь)

Простой уровень сложности:

Комбинаторика: сложные формулы
Освоим подсчёт с ограничениями, повторениями и симметриями
Теория чисел: остатки и сравнения
Разберём сравнения по модулю, операции с ними и системы остатков. Научимся выбирать модуль, который раскрывает структуру выражения.
Методы: принцип крайнего
Будем выбирать наибольший, наименьший или крайний объект и использовать его свойства для запуска доказательства. Отработаем типичные признаки применимости метода.
Графы: степень вершины
Освоим подсчёт степеней, среднюю степень и лемму о рукопожатиях
Алгебра: преобразования выражений 3
Разберём продвинутые тождества, циклические выражения и многошаговые замены. Будем выбирать преобразование, которое раскрывает скрытую оценку или делимость.
Геометрия: вписанные четырёхугольники
Разберём признаки вписанности, суммы противоположных углов, внешние углы и следствия для диагоналей. Научимся находить скрытую окружность.
Геометрия: дополнительные построения 1
Освоим базовые достроения: параллели, равные отрезки, симметрии и продолжения сторон. Научимся понимать, какую знакомую конфигурацию нужно создать.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: неравенство о средних 1
Освоим AM–GM для двух и нескольких положительных чисел, подбор весов и условия равенства. Научимся распознавать нужное произведение.
Алгебра: теорема Безу
Изучим теорему Безу о делении многочлена на x−a, связь корней с линейными множителями и схему Горнера. Применим её к делимости и построению многочленов.
Теория чисел: продвинутые сравнения по модулю
Освоим обратимые классы, порядки элементов, степени по модулю и системы сравнений. Научимся выбирать модуль под конкретную структуру задачи.
Графы: смежность
Исследуем отношения соседства и общих соседей, степени и дополнение графа. Научимся получать глобальные выводы из локальных ограничений.
Геометрия: движения плоскости
Систематизируем изометрии плоскости и композиции движений. Применим их к равенствам, и построению вспомогательных точек.
Геометрия: гомотетия
Освоим центры гомотетии окружностей и подобных фигур, прямую и обратную гомотетию. Научимся находить коллинеарности и общие касательные.
Методы: метод математической индукции
Освоим обычную и усиленную индукцию, выбор удобного параметра и правильный переход. Разберём доказательства тождеств, неравенств и комбинаторных утверждений.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Комбинаторика: вероятности
Разберём классическую вероятность, условные события и линейность математического ожидания. Научимся превращать подсчёт исходов в компактное вероятностное рассуждение.
Геометрия: симедиана
Изучим симедиану, её изогональность медиане и отношение отрезков на противоположной стороне. Разберём связь с касательной.
Алгебра: асимптотика многочленов
Научимся сравнивать старшие члены многочленов и рациональных функций, исследовать поведение при больших значениях и извлекать точные ограничения из ведущих степеней.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
3 Блок (Ноябрь)

Простой уровень сложности:

Теория чисел: линейные диофантовы уравнения
Научимся находить все целочисленные решения уравнения ax + by = c, проверять критерий существования и учитывать ограничения на знаки.
Методы: конструктивы в комбинаторике
Научимся не только доказывать существование, но и явно строить комбианаторные объекты с заданными свойствами.
Методы: доказательство от противного
Разберём структуру доказательства от противного: какое предположение сделать, как получить невозможное следствие и как аккуратно завершить рассуждение.
Методы: оценка + пример
Освоим одну из главных олимпиадных схем: сначала докажем верхнюю или нижнюю границу, затем построим пример, на котором она достигается.
Геометрия: дополнительные построения 2
Разберём более скрытые достроения: повороты, окружности, спиральное подобие и перенос отношения. Будем выбирать построение по цели доказательства.
Графы: деревья
Изучим связные графы без циклов, листья и эквивалентные определения дерева. Научимся использовать удаление листа и подсчёт рёбер.
Алгебра: простые неравенства
Отработаем выделение полного квадрата, разложение разности и стандартные оценки. Научимся выбирать короткое и прозрачное доказательство.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: теорема Виета
Освоим прямую и обратную теорему Виета, симметрические выражения от корней и построение уравнения по заданным корням.
Алгебра: неравенство о средних 2
Разберём взвешенное AM–GM, группировку слагаемых и многошаговые оценки. Научимся конструировать доказательство под заданную степень и произведение.
Геометрия: лемма о трезубце
Изучим конфигурацию биссектрисы и центра описанной окружности, позволяющую получать равные отрезки и углы. Отработаем её распознавание и применение.
Геометрия: свойства ортоцентра
Углубим тему ортоцентра: отражения, окружность девяти точек и перенос высот в окружностные конфигурации.
Теория чисел: китайская теорема об остатках
Освоим решение систем сравнений с взаимно простыми модулями и явное построение решения.
Методы: продвинутые конструктивы в комбинаторике
Разберём многошаговые и рекурсивные конструкции. Особое внимание проверке всех ограничений и доказательству оптимальности построения.
Графы: индукция в графах
Научимся применять индукцию по числу вершин или рёбер: выбирать удаляемый элемент, сохранять условие и восстанавливать решение.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Комбинаторика: вероятностный метод
Научимся доказывать существование объекта, выбирая его случайно и показывая, что вероятность успеха положительна. Разберём ожидание и оценку плохих событий.
Геометрия: гармонический четырёхугольник
Освоим гармонические четвёрки точек, полные четырёхсторонники. Научимся получать гармонические четверки из окружностей и касательных.
Теория чисел: показатели
Исследуем показатели степеней в делимости и сравнениях: порядки по модулю, p-адические оценки и условия, заставляющие показатель делиться.
Алгебра: неравенство Йенсена
Разберём выпуклые функции, касательные и неравенство Йенсена. Научимся проверять выпуклость и точно определять условия равенства.
4 Блок (Декабрь)

Простой уровень сложности:

Алгебра: целая и дробная часть числа
Освоим преобразования с целой и дробной частью, интервальные оценки и периодичность. Решим уравнения и неравенства с дискретными скачками.
Теория чисел: десятичная запись
Научимся переводить условия о цифрах в алгебраические выражения, работать с разрядами, суммами цифр и делимостью чисел.
Комбинаторика: игры
Освоим анализ позиций, стратегии ответа и движение к целевому состоянию. Научимся выбирать нужную стратегию.
Методы: инварианты помогают
Научимся находить величину или свойство, которое сохраняется в процессе, и использовать его для вычисления результата, восстановления состояния или описания всех возможностей.
Методы: инварианты мешают
Будем доказывать невозможность, находя неизменяемую характеристику, значения которой различаются в начальном и требуемом состояниях.
Геометрия: вневписанные окружности
Разберём центры вневписанных окружностей, внешние биссектрисы и касательные отрезки. Научимся использовать полупериметр и угловые свойства.
Геометрия: площади
Научимся сравнивать площади через общую высоту или основание, выражать отношения отрезков и использовать аддитивность площади в сложных конфигурациях.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: неравенство КБШ
Изучим неравенство Коши Буняковского Шварца в алгебраической и дробной формах. Отработаем подбор векторов и условия равенства.
Алгебра: многочлены с целыми коэффициентами
Разберём целые корни, делимость значений, разности P(a) P(b) и сравнения для многочленов. Научимся использовать структуру коэффициентов.
Теория чисел: функция и теорема Эйлера
Освоим функцию Эйлера, её вычисление по разложению числа и теорему Эйлера. Решим задачи на большие степени и обратимые остатки.
Геометрия: поворотная гомотетия
Изучим спиральное подобие, которое одновременно поворачивает и масштабирует фигуру. Научимся находить его центр и переносить пары отрезков.
Геометрия: задачи с векторами
Освоим векторные равенства, разложения по базису и скалярное произведение. Применим их к коллинеарности, отношениям и углам.
Методы: сложные конструктивы в теории чисел и алгебре
Будем строить числа, многочлены и последовательности с нужными делимостями, остатками или значениями. Освоим подбор параметров и обратное построения примера.
Графы: эйлеровы и гамильтоновы циклы
Разберём критерий эйлерова маршрута и методы поиска гамильтоновых циклов. Научимся различать задачи о прохождении по рёбрам и по вершинам.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Теория чисел: первообразные корни
Изучим мультипликативные группы остатков и первообразные корни. Научимся описывать степени по модулю и решать показательные сравнения.
Геометрия: изогональное сопряжение
Разберём изогональные прямые и пары сопряжённых точек. Научимся распознавать изогональность через углы, отношения и окружности.
Графы: лемма Холла
Изучим критерий существования паросочетания в двудольном графе. Научимся проверять условие Холла и переводить задачи о назначениях в графовую модель.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
5 Блок (Январь)

Простой уровень сложности:

Методы: полуинварианты
Разберём величины, которые меняются только в одном направлении. Научимся доказывать завершение процессов, невозможность циклов и оценивать число ходов.
Геометрия: замечательные линии и точки треугольника
Систематизируем центры вписанной и описанной окружностей, ортоцентр, медианы. Разберём связи между ними.
Графы: двудольность
Разберём двудольные графы, раскраску в два цвета и критерий отсутствия нечётных циклов. Применим модель к расписаниям и отношениям двух типов.
Методы: непрерывность
Разберём, как использовать непрерывное изменение величины, промежуточные значения и деформации конфигурации для доказательства существования.
Средний уровень сложности:

Алгебра: транснеравенство
Изучим перестановочное неравенство: почему скалярное произведение максимально для одинаково упорядоченных последовательностей. Разберём следствия и условия равенства.
Алгебра: последовательности и прогрессии
Систематизируем арифметические и геометрические прогрессии, рекуррентности и суммы. Применим их к целочисленным и экстремальным задачам.
Теория чисел: нелинейные диофантовы уравнения
Разберём уравнения высоких степеней и произведений: факторизацию, сравнения, оценки между квадратами.
Комбинаторика: продвинутые игры
Разберём игры со сложным пространством состояний: выигрышные позиции, разбиение на подигры, стратегии с памятью и оценку длины партии.
Геометрия: метод масс
Изучим баланс масс в треугольнике и точках на сторонах. Научимся быстро вычислять отношения отрезков и положение точек пересечения чевиан.
Геометрия: ориентированные углы
Освоим вычисление углов по модулю 180°, которое устраняет разбор расположений. Научимся компактно доказывать параллельность и вписанность.
Графы: подвешивание за вершину (ранжирование)
Освоим разбиение вершин на уровни по расстоянию от выбранной вершины. Метод поможет исследовать кратчайшие пути, двудольность и рост графа.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Комбинаторика: теорема Дилуорса
Изучим частично упорядоченные множества, цепи и антицепи. Научимся применять теорему Дилуорса для оптимального разбиения на цепи.
Комбинаторика: теорема Шпернера
Разберём семейства подмножеств без вложений и центральные биномиальные коэффициенты. Освоим цепные разбиения и экстремальные оценки.
Геометрия: введение в проективную геометрию
Познакомимся с проективными преобразованиями, точками на бесконечности и сохранением инцидентности. Научимся упрощать конфигурации выбором удобной проекции.
Геометрия: двойные отношения
Изучим двойное отношение четырёх точек и его сохранение при проектировании. Разберём гармонические четвёрки и проективные доказательства.
Алгебра: неравенство Караматы
Изучим мажорирование последовательностей и неравенство Караматы для выпуклых функций. Разберём связь с Мюрхедом и перестановочными оценками.
Теория чисел: теорема Кронекера
Разберём приближение действительных чисел рациональными и плотность дробных частей кратных иррационального числа. Применим принцип Дирихле к задачам о приближениях.
Теория чисел: многочлены в теории чисел
Научимся исследовать целые значения многочленов, их делимость и корни по модулю. Разберём конечные разности и специальные подстановки.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
6 Блок (Февраль)

Простой уровень сложности:

Комбинаторика: информационные задачи
Научимся измерять количество информации числом возможных исходов и строить оптимальные алгоритмы вопросов, взвешиваний и кодирования.
Методы: двойной подсчёт
Научимся считать один и тот же набор пар или инцидентностей двумя способами. Метод даст формулы, оценки и связи между локальными и глобальными данными.
Геометрия: геометрические неравенства
Научимся считать один и тот же набор пар или инцидентностей двумя способами. Метод даст формулы, оценки и связи между локальными и глобальными данными.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: метод Штурма
Освоим метод сглаживания: будем заменять пару переменных при фиксированных сумме и произведении и сводить многопеременное неравенство к граничным случаям.
Геометрия: стереометрия без круглых тел
Разберём углы и расстояния в многогранниках, сечения, объёмы и подобие в пространстве. Упор на точные плоские модели пространственной конфигурации.
Геометрия: геометрические неравенства
Разберём оценки длин, углов и площадей с помощью неравенства треугольника, проекций, спрямления и экстремальных конфигураций.
Графы: раскраски
Изучим правильные раскраски вершин, хроматическое число и жадный алгоритм. Получим оценки через степени, клики и структуру графа.
Комбинаторика: процессы
Будем исследовать повторяющиеся операции над конечными конфигурациями: искать инварианты, монотонные величины, циклы и предельные состояния.
Теория чисел: оценки
Освоим оценки размеров делителей, степеней и слагаемых. Будем сочетать их с делимостью, чтобы получать конечное число возможных случаев.
Комбинаторная геометрия
Исследуем конфигурации точек, прямых и выпуклых фигур методами подсчёта и экстремального выбора. Свяжем геометрию с графами и принципом Дирихле.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Графы: теорема Турана
Освоим экстремальную оценку числа рёбер в графе без большой клики и структуру графа Турана. Применим усреднение и симметризацию.
Графы: теория Рамсея
Изучим неизбежное появление однородных подструктур при достаточно большом числе вершин. Разберём числа Рамсея и рекуррентные оценки.
Алгебра: комплексные числа
Введём алгебраическую и тригонометрическую формы комплексного числа, модуль и аргумент. Научимся решать уравнения и интерпретировать операции геометрически.
Алгебра + комбинаторика: корни из единицы
Освоим корни из единицы как фильтр для коэффициентов и остатков показателей. Применим комплексные числа к комбинаторным суммам и рекуррентностям.
Геометрия: счёт в комплексных числах
Научимся кодировать точки комплексными числами и выражать углы, окружности и подобия алгебраически. Разберём выбор удобной нормировки.
Теория чисел: теорема Геометрия: поляры
Изучим поляру точки относительно окружности и взаимность полюса и поляры. Применим их к касательным, хордам и проективным конфигурациям.
Теория чисел: гауссовы числа
Введём целые гауссовы числа a + bi, норму и делимость. Научимся факторизовать суммы квадратов и решать диофантовы уравнения в расширенном кольце.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
7 Блок (Март)

Простой уровень сложности:

Алгебра: суммирование
Разберём телескопические суммы, группировку, замену индекса и стандартные формулы. Научимся искать представление, в котором большая часть слагаемых сокращается.
Геометрия: подобие
Систематизируем признаки подобия и отношения соответствующих элементов. Научимся находить скрытые подобные треугольники и строить нужные пропорции.
Методы: конструктивы в теории чисел и алгебре
Будем строить числа, многочлены и последовательности с нужными делимостями, остатками или значениями. Освоим подбор параметров и обратное проектирование примера.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Средний уровень сложности:

Алгебра: тригонометрия
Систематизируем тождества, формулы сложения и преобразование сумм. Научимся использовать тригонометрию как инструмент алгебраических и геометрических задач.
Алгебра: логарифмы
Разберём свойства логарифмов, смену основания, монотонность и допустимые преобразования.
Геометрия: стереометрия с круглыми телами
Изучим сферы, конусы и цилиндры, касательные плоскости и вписанные тела. Научимся сводить задачу к подходящему сечению.
Геометрия: конструктивы
Разберём построение конфигураций с заданными углами, расстояниями и инцидентностями. Научимся доказывать существование через преобразования и непрерывность.
Комбинаторика: рекуррентные соотношения
Научимся получать рекуррентность из структуры объекта, задавать начальные условия и решать линейные рекуррентные соотношения в задачах подсчёта.
Графы: орграфы
Введём ориентированные рёбра, входящие и исходящие степени, достижимость и сильную связность. Применим орграфы к отношениям и процессам.
Графы: планарность
Разберём укладки графов на плоскости, формулу Эйлера и оценки на число рёбер. Научимся доказывать непланарность через структуру графа.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Сложный уровень сложности:

Комбинаторика: производящие функции
Освоим кодирование последовательностей степенными рядами. Научимся переводить рекуррентности и подсчёт разбиений в алгебру коэффициентов.
Комбинаторика: линейно-алгебраический метод
Разберём, как кодировать комбинаторные объекты векторами и матрицами, а затем получать оценки из линейной независимости, ранга и размерности.
Алгебра: функциональные уравнения
Освоим подстановки специальных значений, исследование инъективности и сюръективности, композиции и получение скрытой аддитивности или мультипликативности.
Геометрия: сложная стереометрия
Соберём сечения, углы между прямыми и плоскостями, сферы в задачах высокой сложности.
Геометрия: движение точек 1
Исследуем траектории точек при движении элементов конфигурации. Научимся находить неподвижные связи и простые геометрические места.
Геометрия: движение точек 2
Продолжим динамическую геометрию: предельные положения и сложные траектории. Будем сочетать преобразования и проективные свойства.
Теория чисел: теорема Зигмонди
Изучим существование нового простого делителя у разности степеней и исключительные случаи. Применим теорему к показательным уравнениям и делимости.
Разнобой
Смешанный набор по темам предыдущих занятий. Ученик тренируется самостоятельно распознавать метод, переключаться между разделами и доводить решение до строгого оформления.
Цена 29900 руб.




СКАЧАТЬ

Для просмотра скрытого содержимого вы должны зарегистрироваться